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平面上点到直线距离(一)

2020-07-08 10:24| 发布者: X慧生活| 查看: 740| 评论: {php} echo

求平面上一点 \(P(x_0,y_0)\) 点到直线 \(L:ax+by+c=0\) 距离问题,是高中课程中重要而基本的问题,此问题出现在平面向量单元里,课程中并且提供了公式解:

\(\displaystyle d(P,L)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

而这个公式 除了可用以推导出平面上两平行直线之距雄公式之外,亦可推广至空间中,求一点 \(P(x_0,y_0,z_0)\) 点到平面 \(E:ax+by+cz=0\) 距离问题。

儘管「代公式」的方式简便而快速,但事实上,除了公式解之外,尚存在许多不同的解法,这些解法分属于高中坐标几何、向量几何与三角学等课程範畴,若不考虑各解法背后的逻辑关係,在学完相关单元后,可以由此问题出发,进行一题多解,将坐标几何、向量几何相关单元中的重要概念,作一连结,而当中的许多方法与想法,亦可进一步用于空间中点、线、面相关距离问题。以下,我们以实际问题为例,在本文以及〈平面上点到直线距离(二)〉、〈平面上点到直线距离(三)〉等文里,提供公式解之外,共七大类,近20种解法,除了讨论各类解法所涉先备知识,以及这些方法与空间中相关问题之间的连结。

问题:已知坐标平面上一点 \(P(3,-6)\) 以及一直线 \(L:3x+4y=10\),求 \(P\) 点到直线 \(L\) 的距离。

方法1:先求得两直线之交点,得投影点,再求距离。 

主要想法:先求出 \(P\) 与在 \(L\) 上的投影点 \(Q\),因为 \(\overline{PQ}\) 垂直直线 \(L\),所以 \(\overline{PQ}\) 为最短距离,相关方法如下:

方法1-1:以点斜式求出 \(L’\) 之方程式,再求与直线 \(L\) 之交点。

与直线 \(L:3x+4y=10\) 垂直之直线斜率为 \(\frac{4}{3}\),
则可求得通过 \(P(3,-6)\) 且与直线 \(L\) 垂直的直线 \(L’:y+6=\frac{4}{3}(x-3)\),
即 \(4x-3y=30\)。
此时,\(L\) 与 \(L’\) 之交点即为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L\) 上之投影点 \(Q\)(参考图一),
解之得投影点 \(Q(6,-2)\),则 \(\overline{PQ}\) 之长 \(5\) 即为所求。

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第2章-直线之点斜式、两垂直直线的斜率关係,以及国中学过的两直线求交点等。对于还没学过向量的学生而言,事实上可利用此方法,求解距离,求距离过程中,亦顺便可求出投影点。

平面上点到直线距离(一)

图一

方法1-2:先求出 \(L’\) 之参数式,再求与直线 \(L\) 之交点

直线 \(L:3x+4y=10\) 之法向量为 \(\vec{n}=(3,4)\),
它与过 \(P(3,-6)\) 且与直线 \(L\) 垂直的直线 \(L’\) 平行(如图二所示),
故可设 \(L’\) 之参数式为:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 + 3t}\\ {y = – 6 + 4t} \end{array}} \right.\), \(t\) 为任意实数。
则直线 \(L’\) 上任一点皆可设为 \((3+3t,-6+4t)\),其中的 \(t\) 为任意实数。
故以此假设 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L\) 上之投影点 \(Q\)。
此点亦在直线 \(L\),将其代入直线 \(L\)可得:\(3 (3+3t) + 4 (-6+4t) = 10\),
可得 \(9 + 9t-24 + 16t = 10\),即 \(25t = 25\),\(t = 1\),
如此,可求得投影点 \(Q(6,-2)\) ,则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-直线的法向量与直线参数式。
求距离的过程中,亦可顺便求出投影点。而此方法可推广至空间中,求点到平面距离问题,并与空间中求直线与平面交点问题作连结。

平面上点到直线距离(一)

图二

方法1-3:利用法向量先求出 \(L’\) 方程式,再求与直线 \(L\) 之交点

直线 \(L:3x+4y=10\) 之法向量为 \(\vec{n}=(3,4)\) ,
它与过 \(P(3,-6)\) 且和直线 \(L\) 垂直的直线 \(L’\) 平行(如图二所示),
因此, \(L’\) 的法向量可设为 \(\vec{n’}=(4,-3)\),则直线 \(L’\) 的方程式可设为 \(4x-3y=k\)。
因为 \(L’\) 通过 \(P(3,-6)\),代入 \(P(3,-6)\) 后可求得 \(k=30\),
则 \(L\) 与 \(L’\) 之交点 \(Q\) 即为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L\) 上之投影点,
解之得投影点 \(Q(6,-2)\) ,则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

评析:这个方法所需先备知识同样为《第三册》第3章-直线的法向量与两直线一般式求交点。求距离过程中,亦可顺便求出投影点。

方法1-4:\(L\) 与 \(L’\) 两直线参数式求交点

利用直线 \(L:3x+4y=10\)的参数式,
可假设 \(L\) 上任一动点 \((2+4s,1-3s)\),其中的 \(s\) 为任意实数。
亦可假设出过 \(P(3,-6)\) 且与直线 \(L\) 垂直的直线 \(L’\) 之参数式为:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3 + 3t}\\ {y = – 6 + 4t} \end{array}} \right.\),
\(t\) 为任意实数。即直线 \(L’\) 上的动点可设为 \((3+3t,-6+4t)\),其中的 \(t\) 为任意实数。
则两直线之交点即为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L\) 上之投影点 \(Q\)(参考图一),
解联立方程式:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 + 4s = 3 + 3t}\\ {1 – 3s = – 6 + 4t} \end{array}} \right.\),可得 \((s,t)=(1,1)\)。
即得两直线之交点为 \(Q(6,-2)\),则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。
而此交点 \(Q(6,-2)\) 亦为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L\) 上之投影点。

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-直线的方向向量、直线的法向量、直线参数式,以及利用两直线参数式求交点。求距离过程中,亦可顺便求出投影点。此方法主要可与平面上、空间中已知两直线之参数式求交点的问题作连结。

以上第一类的四种解法,都是建立在求出「过 \(P\) 点且与原直线垂直的新直线 \(L’\)」与原直线 \(L\) 之交点,即投影点 \(Q\),再求距离。至于其它六类解法,留待〈平面上点到直线距离(二)〉、〈平面上点到直线距离(三)〉等文再作说明。

连结:平面上点到直线距离(二)


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