平面上点到直线距离（三）

连结：平面上点到直线距离（二）

本文承〈平面上点到直线距离(一)〉与〈平面上点到直线距离(二)，继续提出三类平面上点到直线距离的解法以及相关讨论与连结。而本文中的各类解法，主要在直线上任取一点或两点，造出新向量，所延伸出的方法。

方法5：在直线上任取一点，再利用平行与垂直性质

本类方法主要是引入直线上的一点后，充份利用直线的法向量与方向向量，辅以平行与垂直相关性质与关係，求得投影点与距离。

方法5-1：在直线上任取一点，再利用平行与垂直相关性质

在 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\)，则 \(\vec{P’P}=(1,-7)\) ，
令 \(Q\) 为 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 的投影点，\(\vec{P’Q}\) 与直线之方向向量平行，可设为 \(\vec{P’Q}=t(4,-3)\)。

接下来，可发展出两种方法，分别利用直线的法向量或方向向量，搭配平行与垂直关係进行解题：

5-1-1

则 \(\vec{QP}=\vec{P’P}-\vec{P’Q}=(1-4t,-7+3t)\) 平行直线 \(L:3x+4y=10\) 的法向量
分量成比例 \(\frac{{1 – 4t}}{{ – 7 + 3t}} = \frac{3}{4}\)，可得 \(4(1-4t)=3(-7+3t)\)，解之可得 \(t = 1\)，
可得投影点为 \(Q(6,-2)\)，则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

5-1-2

\(\vec{QP}=\vec{P’P}-\vec{P’Q}=(1-4t,-7+3t)\) 垂直直线 \(L:3x+4y=10\) 的方向向量
内积为 \(4(1 – 4t) + ( – 3)( – 7 + 3t) = 0\)，解之可得 \(t = 1\)，
可得投影点为 \(Q(6,-2)\)，则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求(参考图一所示)。

图一 在直线上任取一点，再利用平行与垂直性质(一)

方法5-2：在直线上任取一点，再利用平行与垂直相关性质

在 \(L:3x+4y=10\) 上任取一点 \(P'(2,1)\)，则 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
令 \(Q\) 为 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 的投影点，
\(\vec{PQ}\) 与直线之法向量平行，可设为 \(\vec{PQ}=t(3,4)\)。

接下来，同样可发展出两种方法，分别利用直线的方向向量或法向量，搭配平行与垂直关係进行解题：

5-2-1

因为 \(\vec{P’P}+\vec{PQ}=(1+3t,-7+4t)\) 与直线 \(L:3x+4y=10\) 的方向向量平行，
分量成比例 \(\frac{{1 + 3t}}{{ – 7 + 4t}} = \frac{4}{{ – 3}}\)，因此可得 \(4 (-7+4 t) = -3 (1+3t)\)，解之可得 \(t = 1\)，
可得投影点为 \(Q(6,-2)\)，则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

5-2-2

\(\vec{P’Q}=\vec{P’P}-\vec{QP}\) 与直线 \(L:3x+4y=10\) 的方向向量垂直，
内积为 \(4(1 – 3t) + ( – 3)( – 7 – 4t) = 0\)，解之可得 \(t = 1\)，
可得投影点为 \(Q(6,-2)\)，则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\)即为所求。(参考图二)

评析：以上方法5所需先备知识为《第三册》第3章－向量的加法、减法、向量平行与垂直之关係、直线的法向量与方向向量。此类方法较方法2来得複杂，相关方法可推广用于空间中，求点到直线与点到平面距离问题。

图二 在直线上任取一点，再利用平行与垂直性质(二)

方法6利用向量夹角公式与三角函数

本方法主要是引入直线上一点，造出新向量后，利用与余弦相关的向量夹角公式来解题。

方法6-1：利用向量夹角公式与正弦

在 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\)，则 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
\(\vec{P’P}=(1,-7)\) 与直线 \(L\) 方向向量 \((4, -3)\) 之夹角为 \(\theta\)，则 \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
则 \(\overline {PP’} |\sin \theta | = \sqrt {50} \frac{{25}}{{\sqrt {50}\cdot 5}} = 5\)，即为所求（如图三所示）。

图三 利用向量夹角与正弦

方法6-2：利用向量夹角公式与余弦

在 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\)，则 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
\(\vec{P’P}=(1,-7)\) 与直线 \(L\) 法向量 \((3, 4)\) 之夹角为 \(\theta\)，则 \(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
则 \(\overline {PP’} |\cos \theta | = \sqrt {50} \frac{{25}}{{\sqrt {50}\cdot 5}} = 5\)，即为所求（如图四所示）。

评析：以上方法6所需先备知识为《第三册》第1章－正弦与余弦的意义、第3章－两向量求夹角之余弦，以及两向量所张成之三角形面积公式。此方法分别可推广至空间中，求点到直线距离问题与点到平面距离。但过程中无法求出投影点。

图四 利用向量夹角与余弦

方法7：引入一点或两点利用三角形面积公式

方法7-1：引入一点，利用三角形面积公式或平行四边形面积公式

在 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\)，则 \(\vec{P’P}=(1,-7)\)，
又直线的法向量可取 \(\vec{L}=(4,-3)\)，
则，由 \(\vec{P’P}=(1,-7)\) 与 \(\vec{L}=(4,-3)\) 所张平行四边形面积为 \(|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&{ – 3}\\ 1&{ – 7} \end{array}} \right|| = 25\)，
因为平行四边形的底为 \(|\vec{L}|=5\)，则可求得平行四边形的高为 \(5\)，即为所求。（如图五所示）

图五 引入一点，利用平形四边形（或三角形）面积公式求高 \(PQ\)

方法7-2：引入两点，三角形面积公式或平行四边形面积公式

在直线 \(L:3x+4y=10\) 上任取 \(2\) 点 \(A(2,1)\) 与 \(B(-2,4)\)，
可得向量 \(\vec{PA}=(-1,7)\) 与向量 \(\vec{PB}=(-5,10)\)，
这时，可利用各种相关面积公式，计算出三角形 \(PAB\) 的面积为 \(\frac{25}{2}\)。
由于三角形面积等于 \(\frac{1}{2}\cdot\overline{PQ}\cdot\overline{AB}= \frac{1}{2}\cdot\overline{PQ}\cdot 5\)。（如图六所示）
可求得 \(d(P,L)\) 即为所求距离为 \(5\)。

评析：这个方法所需先备知识为《第三册》第3章－两向量所张成之三角形或平行四边形面积公式。此两方法皆可推广至空间中，求点到直线距离问题。但过程中无法求出投影点。

图六 引入两点，利用三角形面积公式求高 \(PQ\)

以上，与平面上点到直线距离相关的三篇文章里，笔者提供了与高中课程相关的多种方法，一方面，供有兴趣的读者趣味一下，同时，也藉此将上述各种解法与想法，与空间中点、线、面求距离问题作一连结。