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平面上点到直线距离(二)

2020-07-08 10:24| 发布者: 生活常识| 查看: 127| 评论: {php} echo

连结:平面上点到直线距离(一)

本文承〈平面上点到直线距离(一)〉,继续提出三类平面上点到直线距离的解法以及相关讨论与知识间的连结。

方法2:利用向量平行与垂直等关係

方法2-1:利用向量 \(PQ\) 与 \(L\) 之方向向量垂直。

利用直线 \(L:3x+4y=10\) 的参数式,
可假设 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 上的投影点 \(Q(2+4t,1-3t)\),
因为 \(\overline{PQ}\) 垂直直线 \(L\),所以 \(\overline{PQ}\) 为最短距离。
则向量 \(\vec{PQ}=(1-4t,-7+3t)\) 与 \(L:3x+4y=10\) 之方向向量 \(\vec{n}=(4,-3)\) 垂直。(如图一所示)
因此,内积为 \(4(1 – 4t) + ( – 3)( – 7 + 3t) = 0\),解之可得 \(t = 1\),可得投影点为 \(Q(6,-2)\),则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-直线的方向向量、直线参数式与内积。求距离过程中,亦顺便可求出投影点。此方法可推广至空间中求点到直线距离、投影点问题,亦可用于求空间中两平行直线距离。

平面上点到直线距离(二)

图一 向量\(\vec{PQ}\)与直线方向向量垂直

方法2-2:利用向量 \(PQ\) 与 \(L\) 之法向量平行。

利用直线 \(L:3x+4y=10\) 的参数式,
可假设 \(P(3,-6)\) 在 \(L\) 上的投影点 \(Q(2+4t,1-3t)\),
则向量 \(\vec{PQ}=(1-4t,-7+3t)\) 与 \(L:3x+4y=10\) 之法向量 \(\vec{n}=(3,4)\) 平行,(如图二所示)
利用分量成比例 \(\frac{{1 – 4t}}{{ – 7 + 3t}} = \frac{3}{4}\) 之关係,可得 \(4(1-4 t) = 3 (-7+3t)\),
解之可得 \(t = 1\),可得投影点为 \(Q(6,-2)\),则 \(\overline{PQ}\) 之距离 \(5\) 即为所求。

评析:这个方法所需先备知识同样为《第三册》第3章-直线的法向量与直线参数式。求距离过程中,亦顺便可求出投影点。此法与2-1之差别主要在于利用直线的方向向量与直线的法向量。

平面上点到直线距离(二)

图一 向量\(\vec{PQ}\)与直线方向向量平行

方法3:求 \(P\) 点到直线上动点距离之最小值。

方法3-1:利用配方法求 \(P\) 点到直线上动点距离之最小值。

利用直线 \(L:3x+4y=10\) 的参数式,可假设 \(L\) 上任一动点 \(Q(2 + 4t,1 – 3t)\)
则 \(P(3,-6)\) 与 \(Q(2 + 4t,1 – 3t)\) 之距离为:
\(\sqrt {{{(2 + 4t – 3)}^2} + {{(1 – 3t + 6)}^2}}=\sqrt {25{t^2} – 50t + 50}\le\sqrt {25{{{\rm{(}}t – {\rm{1)}}}^{\rm{2}}} + {\rm{2}}5}\le\sqrt {25}{\rm{=5}}\)
即当 \(t = 1\) 时,有最短距离 \(5\),此时 \(t = 1\) 所得之点 \(Q(6,-2)\),
即为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L:3x+4y=10\) 的投影点。(如图三所示)

评析:这个方法所需先备知识为《第一册》第二章-二次函数配方法求极值、《第三册》第3章-直线参数式,以及平面上的两点距离公式。求距离过程中,亦可顺便求出投影点。此方法可推广至空间中,求点到直线距离问题。

平面上点到直线距离(二)

图三P点到直线上动点Q距离之最小值即为所求最短距离

方法3-2:利用柯西不等式求 \(P\) 点到直线上动点距离之最小值。

设 \(Q(x,y)\) 为直线 \(L:3x+4y=10\) 上任一点,
则 \(P(3,-6)\) 与 \(Q(x,y)\) 之距离平方为 \(\overline {PQ}= {(x – 3)^2} + {(y + 6)^2}\),
利用柯西不等式 \({(3x – 9 + 4y + 24)^2} \le [{(x – 3)^2} + {(y + 6)^2}({3^2} + {4^2})\),
可得 \({25^2} \le {\overline {PQ} ^2} \cdot 25\),即 \({\overline {PQ} ^2}\) 的最小值为 \(25\),\(\overline{PQ}\) 的最小值为 \(5\)。
且知,当 \(\frac{{x – 3}}{{y + 6}} = \frac{3}{4}\) 时,产生最小值,解之得 \((x,y)=(6,-2)\) ,
即为 \(P(3,-6)\) 在直线 \(L:3x+4y=10\) 的投影点。(如图三所示)

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-柯西不等式。求距离过程中,亦可顺便求出投影点。此方法可推广至空间中,求点到平面距离问题。

方法4:在直线上任取一点,再利用正射影。

方法4-1:利用在法向量上的正射影长

在直线 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\),可得向量 \(\vec{P’P}=(1,-7)\),
\(\vec{P’P}=(1,-7)\) 在直线法向量 \(\vec{n}=(3,4)\) 上的正射影长即为所求。(如图四所示)
依正射影公式可得正射影为 \(\frac{{(1, – 7) \cdot (3,4)}}{{25}}(3,4) = ( – 3, – 4)\)
则正射影长为 \(5\),即为所求点 \(P(3,-6)\) 到直线 \(L\) 的距离。

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-直线法向量、正射影公式。可推广至空间中,求点到平面距离问题。

平面上点到直线距离(二)

图四 引入一点,利用在法向量上的正射影

方法4-2:利用在方向向量上的正射影长

在直线 \(L:3x+4y=10\) 任上取一点 \(P'(2,1)\),可得向量 \(\vec{P’P}=(1,-7)\),
在直线方向向量 \(\vec{L}=(4,-3)\) 上的正射影长为:\(\vec{P’Q}=\frac{{(1, – 7) \cdot (4, – 3)}}{{25}}(4, – 3) = (4, – 3)\)
利用勾股定理 \({\overline {PP’}^2}= {\overline {P’Q} ^2} + {\overline {PQ} ^2}\),可求得点 \(P(3,-6)\) 到直线 \(L\) 的距离为\(5\)。
(如图五所示)

评析:这个方法所需先备知识为《第三册》第3章-直线方向向量、正射影公式以及国中学过的勾股定理。不过,方法4-2显然较为简捷。

平面上点到直线距离(二)

图五 引入一点,利用在方向向量上的正射影

以上为三类平面上点到直线距离的解法,接下来的〈平面上点到直线距离(三)〉继续讨论另外三类解法,以及相关知识间的连结。

连结:平面上点到直线距离(三)


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