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平面上的线性变换(Linear Transformation

2020-07-08 10:24| 发布者: U人生活| 查看: 740| 评论: {php} echo


矩阵是线性代數、離散數学、多变量微积分、多变量统计分析的基本工具。在高中课程中,对于矩阵的认识大致有两种面向:首先,矩阵可以视为由许多数字组合而成的矩形阵列,可以一次处理大量的数字,例如一次联立方程式与矩阵的关係、转移矩阵的应用。此外,矩阵的加法和减法的运算规则也都证实这个观点。另外,还有一个较为高阶的观点,就是将矩阵视为两向量空间的线性变换之表达形式,这也使得矩阵成为线性代数主要处理的基本数学物件(object)。

事实上,凯莱(Arthur Cayley, 1821-1895)最早研究矩阵的动机,正是为了简化线性变换  $$\left\{ \begin{array}{l} x’ = ax + by\\ y’ = cx + dy \end{array} \right.$$的表示,并且,矩阵的乘法也是来自两次线性变换的合成(请参见本网站内由单维彰教授所写〈矩阵的故事〉一文)。

所谓的线性变换,指的是对于每一个向量 $$v$$ ,变换 $$T$$ 对应输出 $$T(v)$$ 。
如果对于所有的向量 $$v,w$$ ,满足下列两个条件,则变换 $$T$$ 称为线性变换:

换言之,这些条件保持了线性的成立:$$T(\alpha v+\beta w)=\alpha T(v)+\beta T(w)$$。进一步,每个线性变换 $$T$$ 都会和它的表示矩阵 $$A$$ 有一对一的关係。详细的证明,有兴趣的读者,可以参考线性代数的相关书籍。不过,这却说明了为何线性代数处理的是线性变换的问题,却处处都是矩阵的运算。就以平面为例,若考虑以原点当成向量的起点,则每个异于原点的坐标都能对应到一个位置向量,例如点 $$A(3,2)$$,则 $$\vec{a}=\vec{OA}=(3,2)$$。

因此,我们考虑平面上的点 $$P(x,y)$$ 依变换 $$\left\{ \begin{array}{l} x’ = 2x + y\\ y’ = – x + 3y \end{array} \right.$$

对应到点  $$P'(x’,y’)$$  ,用矩阵表示,此变换可写成 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]$$ ,

根据矩阵的运算性质,显然  $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right](a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]) = a\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + b\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]$$ 。

因此,这个变换是平面上的线性变换,而且,它的对应表示矩阵为 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]$$ 。

透过矩阵,我们容易进行运算,例如,$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right]$$,

表示将点 $$(3,2)$$ 线性变换到点 $$(8,3)$$ 。

并且,若逆变换(亦即矩阵 $$M^{-1}$$ 存在)成立的话,亦可轻鬆逆求由哪个点变换而成:

$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right]$$

$$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]^{ – 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right] = \frac{1}{7}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 1}\\ 1&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 3 \end{array}} \right] = \frac{1}{7}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {21}\\ {14} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right]$$。

此外,线性变换会将直线 $$AB$$ 变换成直线 $$A’B’$$;将线段 $$AB$$ 变换成线段 $$A’B’$$ 。

不妨设 $$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$$,则直线 $$AB$$ 上的任意动点 $$P(x,y)$$

满足 $$\left\{ \begin{array}{l} x = {x_1} + t({x_2} – {x_1})\\ y = {y_1} + t({y_2} – {y_1}) \end{array} \right.$$,$$t$$为实数。

用矩阵表示,可写成 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = (1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]$$ ,若线性变换的表示矩阵为 $$M$$ ,

则 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = M\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = M[(1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right]]$$

$$ = (1 – t)M\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{y_1}} \end{array}} \right] + tM\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}}\\ {{y_2}} \end{array}} \right] = (1 – t)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}^\prime }\\ {{y_1}^\prime } \end{array}} \right] + t\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_2}^\prime }\\ {{y_2}^\prime } \end{array}} \right]$$。

因此, $$P$$  点变换对应点 $$P'(x’,y’)$$ 会在直线 $$A’B’$$ 上,其中 $$A’,B’$$  是 $$A,B$$ 变换对应的点。

进一步,我们能考虑线性变换后的面积比问题,下面以 $$\Delta OAB$$ 为例,设 $$O(0,0),A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2})$$ ,

且线性变换 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]$$ 将 $$\Delta OAB$$ 变换到 $$\Delta O’A’B’$$ ,

易知 $$O'(0,0)$$,$$A'(a{x_1} + b{y_1},c{x_1} + d{y_1})$$,$$B'(a{x_2} + b{y_2},c{x_2} + d{y_2})$$。

则 $$\Delta O’A’B’$$ 的面积$$ = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{O’A’} \\ \vec{O’B’} \end{array}} \right||\; = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a{x_1} + b{y_1}}&{c{x_1} + d{y_1}}\\ {a{x_2} + b{y_2}}&{c{x_2} + d{y_2}} \end{array}} \right||$$

  $$ = \frac{1}{2}|ad{x_1}{y_2} + bc{x_2}{y_1} – bc{x_1}{y_2} – ad{x_2}{y_1}|$$

  $$ = \frac{1}{2}|ad({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1}) – bc({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})|$$

$$ = \frac{1}{2}|({x_1}{y_2} – {x_2}{y_1})(ad – bc)|\; = \frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}} \end{array}} \right| \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right||\;$$

$$ = \,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|| \cdot (\frac{1}{2}|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}&{{y_1}}\\ {{x_2}}&{{y_2}} \end{array}} \right||\;) = \,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right|| \cdot \Delta ABC$$面积

换言之,利用线性变换的表示矩阵之行列式值就能得出线性变换后的面积。
比方说,$$\Delta ABC$$ 的面积为 $$2$$,线性变换 $$T$$ 对应的矩阵为 $$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right]$$ ,
则变换后的 $$\Delta A’B’C’$$ 的面积为$$\,|\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { – 1}&3 \end{array}} \right|| \cdot \Delta ABC$$面积$$=7\times 2=14$$。

至于平面上的有那些重要的线性变换,请参阅〈平面上重要的线性变换:旋转、镜射、伸缩和推移〉一文。


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